Zum Begriff: Unendlichkeit

Begriffe nach WAP-Logik

Das Wort Aprosität wird hier, auf Weltanschauung.org, verwendet für all jenes, das ausserhalb der Reichweite des indivduellen wie auch allgemeinen menschlichen Bewusstseins liegt, um etwas zu haben, das ausserhalb von Objektivität ist. Dieser Artikel argumentiert, dass Unendlichkeit eine solche ‘Aprosität’ ist, also etwas, über das man weder subjektiv noch objektiv nachdenken kann. Es kann aber darüber nachgedacht werden, wo Unendlichkeit in Wahrheit womöglich noch Endlich ist, und ob Aprosität (Unerreichbares) dadurch vielleicht schon da, beim Endlichen, beginnen kann.

Hier will kurz untersucht werden, warum die meisten Formen von Unendlichkeit (vermutlich) nicht möglich sind, das Grenzenlose aber schon. Dazu schauen wir zuerst den Raum (z.B. die Kugel, den Würfel), dann die Zeit, und zuletzt die Grösse (z.B. das Quadrat, die Linie) an.

Zum ersten Beispiel – kann der Raum unendlich sein? Es ist eine solche Unendlichkeit natürlich nicht denkbar, aber sie ist, wenn man sich die Eigenschaften des Räumlichen vergegenwärtigt, auch in der Abstraktion nicht nachzubilden. Geht man in ein Haus hinein, so geht man in den ‘Raum’ des Hauses. In diesem Haus hat es dann wieder kleinere Räume, die man Zimmer nennt, und in diesen Zimmern hat es wiederum kleinere Räume usw.

Wir könnten sagen, dass das Haus eine obere Kategorie ist, und das Zimmer, jedenfalls im Räumlichen, eine Kategorie darunter. Geht man durch die Haupteingangstüre, so kommt man in einen Raum, und dieser Raum umschliesst einen bestimmten Bereich. Um diesen Bereich herum hat man die Aussengrenze des Raumes, und von dieser Aussengrenze hat jeder Punkt einen anderen Punkt auf der anderen Seite des Raumes. So kann man nicht von einem ‘Anfang’ und einem ‘Ende’ sprechen, sondern man muss von ganz vielen Anfängen und Enden sprechen, die sich alle gegenüber liegen. Zwischen diesen Punkten hat man nun ‘Abstände’, und diese Abstände definieren die Grösse des Raumes. Das ist eine mögliche mathematizistische Darstellung dessen, was ein Raum ist. Mit den Abständen haben wir Grössen, die miteinander in Beziehung stehen.

Das ist also der Raum, wie wir ihn für unsere Zwecke definieren. Und nun gehen wir etwas weiter in die Abstraktion hinein, denn nur da können wir wirklich über Unendlichkeit nachdenken. Wir gehen nun also in einen abstrakten Raum hinein, einen Raum, den es nur in der Theorie gibt. Wir gehen durch eine theoretische Eingangstüre durch, und gehen in den theoretischen Raum hinein. Dieser Raum hat die Eigenschaft, dass die Punkte auf der anderen Seite weder mit den Augen noch sonstwie mit dem Bewusstsein in jeglichster Weise wahrnehmbar sein können. Wir können also nicht wissen, was auf der anderen Seite dieser Eingangstüre ist.

Schauen wir in jenen Raum, so können wir erstens sagen: dieser Raum ist endlos. Ich kann laufen und laufen, und werde doch nie die andere Seite erreichen. Ich könnte mit Lichtgeschwindigkeit fliegen, und würde die andere Seite auch nie erreichen. Folglich ist der Raum ‘unendlich‘.

Zweitens können wir denken und dann sagen: dieser Raum ist so gross, dass mein Bewusstsein das andere Ende nie erreichen kann. Und so ist dieser Raum ‘für meine Begriffe unendlich‘. Subjektiv gesehen ist der Raum in diesem Fall also etwas Unendliches.

Drittens können wir denken: dieser Raum ist zwar so gross, dass mein Bewusstsein nie die Vorstellung davon haben kann, welche Grösse er hat, dennoch ist er ‘nicht unendlich‘, denn ich kam in den Raum hinein. Wenn ich eine Eingangstüre habe, so habe ich auch einen Punkt auf der anderen Seite, sonst könnte ich überhaupt nicht in den Raum hinein, denn es gäbe ohne den Punkt auf der anderen Seite an sich keine ‘Räumlichkeit’. Mit dem Vorhandensein einer Sache, hat man dadurch immer auch eine Endlichkeit derselben. Ein Raum der existiert, schliesst das Unendliche mit seiner Existenz aus. Das Unendliche kann es nur im Nichtexistierenden geben, und damit kann es das Unendliche nicht geben.

Der dritte Gedanke ist derjenige, den wir für die Aprosität (das dem Bewusstsein nicht mehr Erreichbare) verwenden wollen. Der zweite Gedanke hat jedoch auch eine gewisse Gültigkeit, und er ist die Art, wie Unendlichkeit meistens verstanden wird: wo ich zwischen ‘Unendlichkeit’ und ‘Nicht erfahrbarer Endlichkeit’ nicht unterscheiden kann, gehe ich – in der Sprache – von Unendlichkeit aus. Bei der ersten Aussage findet sich nur jene Aussage, ein Gedanke ist da nicht.

Was hat man nun für einen Raum, wenn man auf einmal dazwischen landet, mitten in unserem theoretischen, endlosen Raum, den wir vorhin durch eine Tür betreten haben? Man kommt in einem solchen Fall also nicht an der Raumesgrenze in den Raum, wie wir das vorher gemacht haben, sondern man ist ähnlich so darinnen, wie der Mensch im Weltall drinnen ist.

Macht es einen Unterschied? Die Tatsache, dass man im Raum drinnen ist, gibt uns den Begriff des Raumes und die Eigenschaft der Räumlichkeit, die uns wieder den Begriff des Abstandes verschiedener auf der Raumesgrenze liegender Punkte geben. Das muss nicht ein Raum sein, der eine Wand hat, es muss weiter auch nicht ein Raum sein, den man verlassen oder betreten kann, all diese Dinge müssen nicht gelten. Was aber gelten muss, ist, dass es mit der ‘Räumlichkeit’ kleine Abstände gibt, und daraus folgt, dass es auch grosse, und damit auch grösste Abstände geben muss. Sonst erfüllen wir unsere Definition von ‘Räumlichkeit’ nicht. Und mit grössten Abständen haben wir den Abstand zwischen den Aussengrenzen des gesamten Raumes. Und dieser Abstand ist, wenn auch für unsere Sinne und unser Bewusstsein nicht endlich, für sich gesehen (d.h. nicht aus der Sicht des Menschen, sondern aus der Sicht des Raumes) ‘endlich‘. Anstatt z.B. ‘unendlicher Raum’ würden wir vielleicht besser sagen: ‘aller Raum’.

Der Raum kann erst dort zur Unendlichkeit werden, wo er aufhört Raum zu sein, und etwas anderes wird. Bis an diese Grenze haben wir jedoch Raum, und dieser Raum ist, für sich gesehen, streng genommen, immer endlich.

Über ‘Zeit’ ist es etwas schwieriger nachzudenken, aber hier gelten eigentlich diesselben Regeln: dort wo Zeit noch ‘Zeit’ ist, ist sie endlich. Wo sie aber zu etwas anderem transzendentiert, wird sie zu etwas werden, das nicht als ‘unendliche Zeit’ bezeichnet werden kann, weil sie überhaupt nicht mehr als ‘Zeit’ bezeichnet werden sollte. Da eine solche transzendentale Zeit (‘Zeit’ vor und nach ‘der Zeit’) damit wohl eine Aprosität ist, vom Bewusstsein also nicht erfasst werden kann, können wir nicht wirklich weitere Überlegungen dazu anstellen. Es gibt also auch keine ‘unendliche Zeit’, nur ‘Zeit Transzendentierendes’.

Nun zum dritten Punkt, den ‘Grössen’. Die Zahl Pi, oder die Zahl ‘Wurzel zwei’, kennt man als ‘unendliche Zahlen’, also Zahlen, deren Nachkommastellen nicht an einem bestimmten Punkt aufhören, sondern immer weiter gehen (irrationale Nummern). Aber eigentlich sind sie nicht unendlich, denn sie gehen nur so weit, wie man halt zählt, solange also, als dass man sie noch als eine ‘Grösse’ hat. Und man könnte sich ihnen überhaupt nicht annähern, wenn sie in unserem Sinne, der dritten aufgeführten Aussage nach, ‘unendlich’ wären.

‘Pi’ ist im Prinzip eine Funktion der Abrundung eines aus vielen kleinen Geraden zusammen gefügten Kreises. Wie bei der Darstellung des WA-Schemas ganz oben, das auf dem Umkreis aus einzelnen Linien besteht (12 Linien) die sich zu etwas Kreisartigem formen. Dort, wo auf dem Umfang zwei kleine Geraden zusammen kommen, hat man eine kleine Abeckung. Je mehr von diesen kleinen Abeckungen man auf dem Umkreis hat, desto ‘runder’ wird der Kreis, und desto präziser wird Pi (deswegen wird Pi auch als Kreiszahl bezeichnet, obwohl ‘Halbkreiszahl’ eher stimmen würde). Und weil man halt so viele Ecken auf den Kreis projizieren kann, wie man zählen kann, denkt man sich Pi gerne als etwas ‘Unendliches’. Eine unendliche Zahl ist nach diesen Begriffen eines von diesen: inexistent (weil ohne Messbarkeit) oder transzendent (weil ohne Zahl, z.B. die Null).

‘Null’ kann man nicht als Zahl bezeichnen, weil sie den Begriff transzendentiert. Wir haben mit ‘Null’ also insofern keine Unendlichkeit, als wir mit ihr auch keine Zahl mehr haben.

Es ist jedoch keine Unendlichkeit im Zählen selber, denn da ist nur ‘noch nicht gefundene Grösse’. Eine ‘unendliche Grösse’ wäre keine ‘Grösse’ mehr, weil es etwas anderes geworden sein würde (wir nennen es hier eine ‘transzendentale Grösse’). Eine Grösse ist jedoch nur so lange eine Grösse, wie sie noch gemessen werden kann. Darüber hinaus wird sie zu etwas anderem als ‘Grösse’, etwas, für das wir keine Begriffe mehr haben. Es ist jedenfalls nicht ‘Unendlichkeit’, weil Unendlichkeit in diesem Fall ‘nicht mehr messbare Grösse’ wäre. Das ist nach unseren Begriffen ein Widerspruch im Begriff ‘Grösse’.

Der Begriff ‘transzendental’ bedeutet, dass der Begriff der darauf folgt, sich überwunden hat, und zu etwas anderem wurde. ‘Transzendentale Grösse’ heisst damit nichts anderes als: da war einst ‘Grösse’, nun ist da etwas anderes, das mit der alten Kategorie nicht mehr passend beschrieben werden kann. Ein ‘transzendentales X’ ist eine Erinnerung an das ‘X’, das vor dem Transzendentieren war.

Im Externalen können wir nun unterscheiden zwischen diesen Arten von Unbekannten. Wir können die mathematischen Begriffe (wie Raum, Zeit und Grösse) dem einen zuteilen, und wir können die transzendentalen Ideen (transzendentaler Raum, tr. Zeit und tr. Grösse) einer anderen Art von Externalem zuschreiben. Das erste können wir einer objektiven Unendlichkeit, wie wir gesehen haben, nicht zuteilen, aber wir können das auch nicht mit den transzendentalen Begriffen. Denn diese Begriffe verlassen den Bereich des Räumlichen, Zeitlichen und dergleichen. Und wo wir nichts Messbares mehr haben, macht es auch keinen Sinn, von einem ‘Endlichen’ oder ‘Unendlichen’ zu sprechen.

Beim Transzendentalen dieser Kategorien, wie dem transzendentalen Raum, haben wir nichts Messbares mehr, beim transzendentalen Raum wäre das die Qualität ‘quantifizierbare Abstände’ die wir nicht mehr haben. So haben wir auch keine Unendlichkeit, da wir für selbige ein Mass gebrauchen (‘etwas, das unendlich ist’). Objektive Unendlichkeit müsste einen Widerspruch in sich vereinigen: sie müsste eine ausserhalb des Menschen messbare Sache (wie ein Raum) in einer nicht (mehr oder nie) messbaren Form begreifen können. Dadurch müsste die Messbarkeit der Sache selber transzendental sein.

So können wir abschliessend vom Aprositalen sagen, dass es selber nie unendlich ist. Nur die perspektivische Sicht des Menschen lässt die Dinge unendlich erscheinen. Hat man Räumlichkeit, hat man Endlichkeit, hat man Zeitlichkeit, hat man ebenso Endlichkeit, und hat man Grösse, hat man immer noch Endlichkeit. Hat man keine Endlichkeit mehr, so hat man ‘Endlichkeit Transzendentierendes’, und damit nicht mehr etwas Messbares. So hat man Räumlichkeit, Zeitlichkeit und Grösse als transzendentale Kategorien. Den Begriff ‘Unendlichkeit’ gibt es damit, wenn man keine transzendentale Messmöglichkeit hat, nur als etwas Subjektives.

Edit: Möchte man sich die Ausmasse der Grösse des (wie wir gesehen haben: durchaus endlichen) Universums vorstellen, so vergegenwärtige man sich alles Bekannte oder Vorstellbare des Universums, wie man es in der Gegenwart kennt. Dieses Vorstellbare, so gewaltig es auch sein mag, ist im Vergleich zu der tatsächlichen Grösse nicht von ‘null’ zu unterscheiden. Das grösste Denkbare ist im Vergleich zum Wirklichen so vernachlässigbar winzig, dass es daneben nicht mehr zu sehen ist, es approximiert null. ‘Nicht mehr erfassbare Endlichkeit’ ist damit nicht ‘die Grenze unserer Vorstellungskraft, plus noch etwas’ das sich gerade ausserhalb unserer Grenze befindet, es sind ganz andere Grössenordnungen. Unsere Vorstellungskraft oder unser Wissen ist neben dem Wirklichen, das wir im normalen Sprachgebrauch als unendlich bezeichnen, ein Tropf im Ozean. So ist die unvorstellbare Endlichkeit der Wirklichkeit bereits ‘Aprosität’. Wir brauchen gar nicht beim Unendlichen zu sein, um uns die Dinge nicht mehr vorstellen zu können.

Edit 2: Vielleicht mag man fragen: warum ist die Frage, ob es Unendlichkeit gibt oder nicht, überhaupt ein Thema? Es ist ein Thema, weil sich ‘nicht enden wollende Endlichkeit’ in der Geometrie (Diastegraphometrie) in ihrem Verhalten von der ‘Unendlichkeit’ unterscheidet. Weltfremdes Denken wir einfacher als solches erkannt, wenn man mit einer fern jeder Begreifbarkeit befindlichen Endlichkeit arbeitet, anstatt mit dem unspezifischen Begriff Unendlichkeit herum spielt, und unbewusst immer wieder allerlei Gedankensprünge macht. Hat man Endlichkeit, hat man zwar nicht mehr diese okkulte Verworrenheit (die einem womöglich sehr nützlich sein kann, wenn andere Menschen einem präzise, überlegte Fragen zur Unendlichkeit stellen), dafür hat man in sich mehr Klarheit, ab wo man in die Welt der Fantasie abgeht.

Edit 3: Unendlichkeit kann auch sehr klein und überschaubar sein, nämlich dann, wenn ‘etwas‘ relativ zu ‘nichts‘ ist. Eine jeder Gegenstand, ein jedes Sein, hat unendlich mal mehr Existenz als jedes Nichtsein. Solches wäre weder echte (nicht erfassbare) noch unechte (erfassbare), sondern eine relative Unendlichkeit.