Wahrheitstabelle der Logik

2.4.01 Mathematizismus (MZM)

Das Wahre lässt sich in der Realität selten in deutlich abgegrenzter Form vorfinden, meistens findet sich mindestens ein kleines bisschen Lärm im Signal, und mindestens ein kleines bisschen Signal im Lärm. Um aber zu wissen wovon gesprochen wird, wenn Worte wie ‘Konjunktion’ (‘AND’) oder ‘Disjunktion’ (‘OR’) verwendet werden, mache ich hier eine Auflistung von 16 möglichen Kombinationen aus zwei Eingängen A und B, die möglichst anschaulich sein soll.

Weiterführende Links zu Wikipedia:

1. Tautologie (WAHR, TRUE)
2. Null (NICHT, NOT)
3. Proposition A (WAHR A)
4. Proposition B (WAHR B)
5. Negation B (NICHT B)
6. Negation A (NICHT A)
7. Konjunktion (UND , AND)
8. Disjunktion (ODER, OR)
9. Exklusive Disjunktion (XOR)
10. Alternative Negation (NICHT UND, NAND)
11. Konjunktive Negation (NICHT ODER, NOR)
12. Bikonditional (XNOR)
13. Materiale Nichtimplikation
14. Materiale Implikation
15. Umgekehrte Nichtimplikation
16. Umgekehrte Implikation

Wir haben 16 Logiken, und jede einzelne urteilt anders über die möglichen Kombinationen der Signale 1 und 0 unserer zwei Eingänge A und B.

Es beginnt ganz einfach: rot steht für wahr, weiss steht für falsch. Wir könnten auch sagen, rot stehe für Ja, weiss für Nein, oder rot für Ein, weiss für Aus, oder gar rot für rot und weiss für weiss usw usf. Der Anschaulichkeit wegen sprechen wir jedoch von wahr und falsch; ‘Logik an sich’ wird bevorzugt auch für diese beiden Kategorien verwendet.

Die erste Logik, die ‘Tautologie’, ist leichtgläubig, sie weiss nicht einmal, dass es Unwahres geben kann. Sie glaubt alles. Und sie ist auch nicht besonders klug – wenn A z.B. sagt, dass er selber schuldig (0) sei, und gleich darauf, dass er unschuldig (1) sei, so glaubt diese Logik frohen Mutes beides.

1. Tautologie

Die zweite Logik ist das Gegenteil, sie ist äusserst zynisch. In ihren Augen ist alles Lüge. Sie ist ähnlich vergesslich und einseitig wie ‘Tautologie’.

2. Null

Wir verwenden für die Darstellung der Eingänge A und B Kreise, wobei je ein Kreis für eine ‘Menge’ (in Englisch: ‘Set’) steht. Eine Menge kann alles beschreiben, das in einem beliebigen Kontext wahr oder falsch sein kann, sei dies eine Idee, eine Zahl, ein Gegenstand usw. Wir verwenden als praktisches Beispiel zwei Menschen A und B, der eine – A – gibt z.B. ein Signal (1) oder gibt kein Signal (0) der andere, Mensch ‘B’, tut dasselbe.

Stellen wir uns dafür etwas Praktisches vor, so seien A und B (die Signalgeber) zwei Angeklagte, die einen Richter (die Logik) von der eigenen Unschuld überzeugen müssen. ‘A’ kann für sich selber sprechen und z.B. sagen: ich habe nur Gutes (“1”) getan! und dies kann sowohl Lüge wie auch Wahrheit sein. A kann sich jedoch auch selbst belasten, aus welchen Gründen auch immer, und sagen: ich habe Schreckliches (“0”) angerichtet! und auch dies kann so wahr wie auch falsch sein. B kann genau diesselben Dinge sagen, und genauso die Wahrheit sagen, oder aber lügen. O ist für uns also nicht ‘kein Signal’ wie es in der Technik der Fall ist, sondern signalisiert in unserem praktischen Beispiel den verschiedenen Richtern die Behauptung von ‘Unschuld’.

A ist der linke oder der erste Kreis, B ist der rechte oder der zweite Kreis, auch dort wo sich die beiden Kreise in einem Bild überlagern. A und B sind die Buchstaben die auch in der Logik für diese Schemata verwendet werden. Im Englischen wird gerne P für A verwendet, während für unser B von den Anglikanern gerne der Buchstabe Q verwendet wird. Wir verwenden hier nur A und B.

Unser Ziel ist es, zu untersuchen, wie die beiden unterschiedlichen Gedanken 1 und 0 zueinander in Beziehung stehen können. Später werden wir sehen, dass sich komplexe Wahrheitsbeziehungen aus den nur zwei (!) verschiedenen Aussagen durch die zwei ‘Angeklagten’ ergeben.

Unsere Begriffe kommen hierbei nicht aus der Mengenlehre, die auch dieses rot-weisse ‘Venn Diagramm’ verwendet, sondern aus der Logik, denn die Mengenlehre arbeitet mit einer etwas anderen Art von Aussagen, und anderen Begriffen mit anderen Regeln, als es die Logik tut, und wir beschäftigen uns hier allein mit der Logik. Die Bilder rechts stellen logische Verknüpfungen dar, sie zu verstehen ist aber nicht notwendig zum Verstehen des Artikels. Ich habe sie für jene Leser beigefügt, die sich vielleicht noch etwas weiter für das Thema interessieren. x₀ ist hier A, x₁ ist hier B. A gibt das Eingangssignal 1 oder 0 in die Logik, B gibt das gleichsam das Eingangssignal 1 oder 0 in die Logik. Je nachdem, was in die Logik eingegeben wird, und je nachdem welche Logik es ist, kommt aus der Logik ein Signal ‘1’ (wahr) oder ein Signal ‘0’ (falsch) heraus. Besonders die rot-orange-grün-blaue, vertikale Tabelle kann hier sehr zum Verständnis beitragen.

(Anmerkung zu Quelle und Darstellung (für die Interessierten): Der Artikel ist leider etwas länger geworden als ursprünglich beabsichtigt, dafür findet sich damit ein angenehmer Einstieg in das Thema. Alle Bilder sind aus der deutschen wie auch der englischen Wikipedia entnommen und vom SVG- zum PNG- oder JPG-Format umgewandelt. Die quadratischen Wahrheitstabellen des Folgenden stimmen nicht mit der englischen Wikipedia überein, da diese für die Horizontale den Buchstaben P, und für die Vertik.ale Q verwendeten, während ich für die Vertikale A, und für die Horizontale B verwendete, um im allein vertikalen Schema daneben von links nach rechts von A nach B zu gehen. So wie es hier aufgeführt ist, passen die Dinge zueinander, und die Schemata stehen nirgendwo im Widerspruch. Nun zum eigentlichen Inhalt.)

3. Proposition A

A sagt nun, dass A gut sei. Wir haben dabei einen Richter (eine Logik) mit dem Namen ‘Proposition A’. Proposition steht für ‘Vorschlag’. Unser Richter, die Logik ‘Proposition A’, akzeptiert jedes gute Wort von A über sich selbst als wahr. Dem Angeklagten B hört dieser Richter überhaupt nicht zu.

4. Proposition B

Auf der anderen Seite sagt B zu einem anderen Richter, ‘Proposition B’, dass B selber ein toller Kerl sei, und da unser Richter in diesem Falle alles glaubt, was B an Gutem über sich selber sagt, haben wir dadurch die ‘Proposition B’ als die vierte Logik. Was A an Gutem über sich erzählt, interessiert diesen Richter nicht.

(Anmerkung 2 (für das Leseverständnis nicht relevant): DNF steht in den Bildern rechts für ‘disjunktive Normalformen’, KNF für ‘konjunktive Normalformen’. Wer sich weiter für das Thema interessiert, kann sich mit diesen Begriffe auf die Suche nach Erläuterungen machen.)

Hier noch einmal die jeweiligen Propositionen (Vorschläge), wenn A und B gleichzeitig auftreten, dargestellt.

Der Richter Proposition A glaubt alles was A sagt, und interessiert sich nicht für B. Der Richter Proposition B glaubt alles was B sagt, und interessiert sich nicht für A.

5. Negation B

Der Richter ‘Negation B’ hat ein Vorurteil gegen B. Alles was B sagt, muss unwahr sein. Was A sagt, ist ihm egal.

6. Negation A

Der Richter ‘Negation A’ glaubt, dass alles was A sagt, falsch sein muss. Was B sagt, ist ihm egal.

7. Konjunktion

Der Richter ‘Konjunktion’, die siebte Logik, glaubt A und B nur dort, wo beide zusammen Gutes über sich selbst sagen. Dieser Richter ist sehr einseitig darin, dass er nur kollektive Prahlerei als mögliche Wahrheit einstufen will. In der Technik nennt sich das die Serieschaltung (Wahrheitsbedingung ‘Und’ AND):

8. Disjunktion

Nun haben wir den optimistischsten Richter von allen, namens ‘Disjunktion’. Er glaubt an zutiefst an die Ehrlichkeit im Menschen. Es gibt für ihn zwar die Lüge, aber nur dort, wo jemand sagt, dass er schlecht sei. Sobald irgendeine Prahlerei daherkommt, priorisiert er deren Wahrheit. Falschheit haben wir in den Augen dieses Richters erst, wenn sich wirklich beide gleichzeitig selbst belasten wollen. Sind diese vier Bedingungen der vorhanden, so haben wir eine ‘Disjunktion’. In der Technik ist das übrigens die gewöhnliche Parallelschaltung (Wahrheitsbedingung ‘Oder’ OR):

9. Exklusive Disjunktion

Nun haben wir einen Richter, der nur aus einer Meinungsverschiedenheit heraus eine Wahrheit sieht. Nur wenn einer allein stolz zu sich stehen kann, während der andere um Vergebung für die Sünden fleht, meint dieser Richter, dass etwas wahr sein kann. Dieser Richter mag den Kontrast und verabscheut Übereinstimmung (Wahrheitsbedingung ‘Exklusiv Oder’ XOR). Auch Kontravalenz genannt.

10. Alternative Negation

Nun haben wir den Hexenverbrenner unter den Richtern. Wahr kann diesem nur sein, was sich selbst belastet. Wir nennen dies die ‘alternative Negation’. In der Aussagenlogik ist dies bekannt als der ‘scheffersche Strich’. Hier gilt: A und B widersprechen sich, auf Wahrheit lässt sich hier erst schliessen, wenn entweder A oder B für schuldig plädieren, oder beide sich zusammen als schuldig erklären. Wir schliessen hier aus dem Vorhandensein von Bosheit auf die Wahrheit (Wahrheitsbedingung ‘Nicht Und’ NAND):

11. Konjunktive Negation

Eine extremere Darstellung des Ausschlussverfahrens ist die ‘konjunktive Negation’, das ‘Weder-Noch’. Hier haben wir einen derart strengen Richter, wo selbst obiger Hexenverbrenner baff ist. Dem Richter ‘konjunktive Negation’ kann Wahrheit erst vorhanden sein, wenn beide Angeklagten gleichzeitig für schuldig plädieren. Wahrheit in den Augen dieses Richters also solange unmöglich, als noch eine einzige Proposition von sowohl A oder B vorhanden ist. Dieser Richter will nur Schuld sehen (Wahrheitsbedingung ‘Nicht Oder’ NOR):

12. Bikonditional

Ein Umkehrung von der exklusiven Disjunktion (die Logik die den Kontrast aus Prahlerei und Flehen mag) ist das Bikonditional. Hier tritt das Wahre auf, sobald A und B das Gleiche tun, ob sie nun eine Proposition oder eine Negation versuchen. Dieser Richter mag und glaubt nur Teamwork, egal was das Team bezweckt (Wahrheitsbedingung ‘Nicht exklusiv Oder’ NXOR):

13. Materiale Nichtimplikation

Und hier haben wir einen Richter, der vom Charisma von A völlig überwältigt ist, allerdings will er daneben nichts von B hören. Wenn B den Mund öffnet, ärgert das den Richter so sehr, dass er auch gleich in A Verlogenheit sieht. Es nennt sich dies die ‘materiale Nichtimplikation’.

14. Materiale Implikation

Schlecht sieht es für A allerdings bei der ‘materialen Implikation’ aus. Hier ist alles wahr, solange A nicht alleine eine Proposition macht. As Ziel ist hier für A, auf keinen Fall aufzufallen.

15. Umgekehrte Nichtimplikation

Das gleiche Spielchen können wir nun mit B spielen. Dieser Richter ist am leichtgläubigsten, wenn B alleine spricht, aber er wird äusserst misstrauisch, wenn A zu sprechen beginnt.

16. Umgekehrte Implikation

In der umgekehrten Implikation wird B sehr nervös, wenn er alleine vor dem Richter sprechen muss. Dieser Richter findet Bs Nervosität äusserst suspekt.

Schluss

Von der Tautologie ganz zu Beginn, wo alles wahr ist, egal was von A oder von B vorgeschlagen wird, über die Propositionen, wo Wahrheit mit jedem Vorschlag eines bestimmten Eingang (z.B. A) auftritt, über die Konjunktion und die Disjunktion bis schliesslich hierher, zur ‘umgekehrten Implikation’, über all diese Logiken haben wir, wie zu Beginn behauptet, 16 Möglichkeiten an Ausgängen: 2 [Eingänge] ^ 4 [Individuelle Zustände: A Eins, A Null, B Eins, B Null] = 16 [mögliche Kombinationen an Ausgängen]. Wir haben nun alle 16 angeschaut.

Ich bezweifle, dass allein durch das Durchlesen eines solchen Artikel solgleich etwas Substanzielles bei den Lesern verbleiben wird, und so ist es auch nicht die Absicht, damit solches zu erreichen. Es genügt, wenn ein Artikel wie dieser 1) weiterhin existiert, um diesen einmal im Falle der Notwendigkeit aufrufen zu können, um nachzuschauen, wie sich die Begriffe in solcher Logik nennen oder verhalten, oder wenn sich 2) dadurch ein Interesse an Logik bilden kann.