Diastegraphometrie ist die ‘Vermessung des dargestellten Zwischenraumes’. Sie umfasst alles, was man als Geometrie zusammenfasst, das aber nur nebenbei wirklich mit der Vermessung der Erde (Erde geo, Vermessung –metros) zu tun hat. Das ist jedoch die eigentliche Aufgabe der Geometrie: das Vermessen der Erde. Was darüber hinaus geht, sollte einen anderen Namen tragen. Alle Mathematik ist nun ‘Diasteologie’, Lehre vom Zwischenraum. Jede Zahl beschreibt den ersten Teil eines Bereichs, und den letzten, all dasjenige dazwischen wird von der Zahl nicht direkt beschrieben. Die Mathematik befasst sich damit mit den äussersten Rändern der Dinge, sie weiss dadurch um die exakte Grösse jener. Was dazwischen liegt, kann sie auch beschreiben, aber dann wieder als Umschreibung einer Art kleinerer Distanz, welche zwischen dem Vorigen liegt, und nur ein neues Erstes und Letzes ist. Das ist eigentlich die Zusammenfassung dessen, was die Mathematik tut.
Um eine mathematizistische Wahrheit zu haben, sollte diese diastegraphometrisch gebildet werden, ansonsten geschieht es viel eher, dass man mit den Zahlen und Zeichen vom Boden abhebt. Eine Zeichenformel kann zwar für den Verstand ein Beweis sein – für das menschliche Vorstellungsvermögen ist das aber nicht möglich. Es spielt keine Rolle, wie sicher die Formel ist – ohne Darstellung ist sie für das menschliche Vorstellen mangelhaft. Allerdings ist es für mathematizistische Fragen nicht Bedingung, dem Vorstellungsvermögen zu dienen, das Denken genügt ihnen.
Die Darstellung ist ein Schutz davor, zu schnell in das Weltfremde abzudriften. Da man in der Diastegraphometrie nun einmal in der Abstraktion drinnen ist, sollte man also etwas haben, das einem hilft, um sich mit den Formeln nicht zu schnell in selbigen Abstraktionen zu verlieren. So ist die Mathematik stets dazu aufgefordert, sich dazu zu überwinden, ihre Ideen und Wege durch Sprache und Bildnisse zu entwickeln. In der Mathematik kommt man zum Weltfremden schneller, als das bei anderen WA geschieht. So ist man wohl gut beraten, da speziell aufzupassen.
Wenn wir uns mit der Zeit beschäftigen, so werden die Dinge sehr schnell abstrakt, weil die Idee der Zeit an sich viel weniger fassbar ist, als alles Räumliche. Es geschieht mit den noch einmal abstrakteren Untersuchungen zu Zeit noch schneller, die klare Sicht auf das Wirkliche zu verlieren. So ist es eine besondere Leistung der Relativitätstheorien, diese zwei, das Räumliche und das Zeitliche, zu verbinden, obwohl sie dafür sehr weit in das Abstrakte hinein gehen müssen. Die Relativitätstheorien geben der Zeit räumlichen Charakter, oder zeigen zumindest den Zusammenhang der beiden in räumlicher Sprache auf.
Für diesen Artikel wird es nicht nötig sein, bis zur Relativität zu gehen, es wäre mir mit meinen Kenntnissen zu Marthematik auch nicht möglich. Wir schauen hier nur an, wie sich die gewöhnliche Zeitmessung mit einer Uhr diastegraphometrisch darstellen lässt. Dazu will zugleich auch das Duodezimalsystem verwendet werden, das Zahlensystem, das eine jeweilige Ziffer für ‘zehn’ und für ‘elf’ hat, und die Grösse zwölf sich aus den Ziffern 1 und 0 zusammensetzt. Wie sich die Dinge in diesem Zwölfersystem nennen, findet man im Artikel ‘Fragen der WA: Mathematizismus 1‘. Jener Artikel sollte als Voraussetzung für diesen gesehen werden.
Eine Uhr lässt sich im Duodezimalsystem im 24-Stunden-Format wie folgt darstellen.
Dreht man die Uhr um neunzig Grad nach rechts, so sieht sie so aus. Der Grund, die Uhr um neunzig Grad drehen ist, dass wir den Nullpunkt so auf der ‘X-Achse’, auf der Horizontalen, haben.
Und geht man dann gegen den Uhrzeigersinn, so sieht die Darstellung des 24-Stunden-Tages so aus.
Nun haben wir einige Änderungen vorgenommen. Wir brauchen diese, um die Zeit diastegraphometrisch verständlich darstellen zu können. Mit dieser Darstellung der Uhr haben wir nun auch die Möglichkeit, das gewohnte kartesische Koordinatensystem zusammen mit dem Schema einer solchen Uhr zu gebrauchen.
Dies ist das kartesische Koordinatensystem. Mit diesem wollen wir arbeiten, um die Uhrzeit später diastegraphometrisch berechnen zu können. Die x-Achse ist die Horizontale, sie ist links negativ und rechts positiv. Im Zusammenhang mit der y-Achse, der Vertikalen, wird sie immer zuerst genannt. 1, 0 bedeutet also dass die x-Achse positiv 1 ist, und die y-Achse 0.
Auf diesem kartesischen Koordinatensystem können wir nun verschiedenste Einheiten aufführen. Beispielsweise ‘Winkelminuten’ und ‘Winkelsekunden’ nach dem Duodezimalsystem, wobei in Klammern der entsprechende dezimale Wert angegeben ist. Im unteren Halbkreis dann die Darstellung ohne die kleinen Zwischenwerte, damit man die Übersichtlichkeit besser erkennen kann.
Oder wir arbeiten mit ‘Pi’, mit all seinen Werten, und wir fügen dies in den ‘Einheitskreis’ ein. Der Einheitskreis ist der Kreis, wo der Radius “1” beträgt, und der Durchmesser somit “2”. Pi entsteht, wenn man den Radius, also die gerade Linie vom Mittelpunkt des Kreises bis zum Umfang, draussen auf dem Umfang hinlegt, wie es unten der rote Pfeil auf dem unteren Bild macht. Auf unserem Einheitskreis kommt der Radius nämlich auf keine gerade Zahl, er kommt, im Dezimalsystem ausgedrückt, nur auf 57,2958…°dms (ddms: 49,3672°; in unseren Winkelminuten etwas weniger als 10°ddms). Wenn man den Radius in den ganzen oberen Halbkreis, auf 180°dms also, einfügen möchte, so hat dieser Radius 3.14159…dms mal darinnen Platz. Und das ist Pi. Um den Umfang also nicht durch den Radius darstellen zu müssen, und stets diese unendlichen Kommastellen zu haben, verwendet man viel lieber Pi.
Dieser Einheitskreis hat nun verschiedene Punkte auf dem Umfang. Im Dezimalsystem ausgedrückt, haben wir einen wichtigen Punkt bei 15°, bei 30°, bei 45°, bei 60°, bei 75° und schliesslich bei 90°. Zieht man von jedem dieser Punkte eine horizontale und eine vertikale Linie auf die x-Achse und auf die y-Achse, so schneiden diese Linien diese Achsen. Aber diese Schnittpunkte sind keine einfachen Zahlen, wie “1/4” oder “1/6”, sondern “√3/2” und dergleichen. Die Ausnahme sind die Winkel 30°dms und 60°dms, welche eine ihre jeweiligen Achsen genau in der Hälfte schneiden. Dies lässt sich wie folgt darstellen. Ausserhalb des Kreises finden sich zwei Grössen, welche durch ein Komma getrennt sind. Links vom Komma ist die Grösse, welche zur x-Achse gezogen wird, rechts die Grösse, welche zur y-Achse gezogen wird. Die Terme, welche am nächsten zum Mittelpunkt sind, und jene welche am nächsten zum Schnittpunkt der Hauptachsen zum Umfang sind, sollten mit Klammern ausgedrückt werden, damit man weiss, wie sie sich tatsächlich zusammen setzen: ((√3)-1)/(2√2) und (1+√3)/(2√2). Aufgrund eines Platzmangels wurden die Klammern weggelassen.
Und wenn wir dabei sind, wollen wir auch gleich die Position des Sinus und des Kosinus auf dem Einheitskreis eingeben, und schauen, wie das aussehen kann. Woher der Sinus und der Kosinus kommen, werden wir noch sehen. Hier sind die beiden einfach einmal in den Kreis eingefügt, damit man sieht, dass da vieles möglich ist. Geben wir dem Radius ’10 duodezimale Winkelminuten’, so haben wir für den Sinus einen Wert von ⅟₂ auf der x-Achse, und für den Kosinus, den wir an der y-Achse ablesen, √3/2.
So viel erst einmal zur Darstellung des kartesischen Systems mit unserer Duodezimal-Uhr.
Im Folgenden werden wir die Trigonometrie dazu nehmen (also Dreiecke), wir werden das Pi durch das Tau ersetzen, und schauen, was das bewirkt, und neben Sinus und Kosinus noch all die anderen nützichen Funktionen dazu nehmen, wie den Tangens, den Arktangens usw, und aus dem Kreis heraus gehen. Und später wollen wir schauen, wie sich das Ganze auf einer Zeitachse neben der Uhr darstellen lässt, wie der Sinus, der Kosinus und all die anderen sich dort in Linien-, Wellen- und Parabelform zeigen.
Das alles hat zum Ziel, unserem Verständnis von Zeit dadurch etwas näher kommen, dass wir nicht einfach vom Ziffernblatt der Uhr eine Zahl ablesen, ohne uns vorstellen zu können, wie Zeitpunkte denn miteinander in Beziehung stehen. Die Zeiger sind drei Hypothenusen, welche stets ihre jeweiligen rechtwinkligen Dreiecke bilden. Der eine dreht sich um das Blatt in 72 Sekunden dms, der andere in 60 Minuten dms, und der letzte in 24 Stunden dms. Dadurch gehen die die Sekunden etwas schneller voran, als man es sonst kennt, denn die Stunde behält in diesem System die gleiche Dauer. Die genaue Geschwindigkeit einer Sekunde beträgt so 72 Schläge in einer gewöhnlichen Minute (60 dms-Minuten/h). Lieder mit 72bpm sind ‘All Shook Up’ von Elvis Presley oder ‘I Walk Alone’ von Tarja. Ich konnte leider keine gute Musik mit diesem Tempo finden, wo ein Schlagzeug sauber den Takt angibt, und der Gesang diesem auf eine Weise folgt, das dieser einen mitzieht. Das meiste scheint mir noch schlechter zu sein, als die zwei. Wir haben also drei Ziffernangaben, wobei sich die Ziffern für die Sekunde und die Ziffern für die Minute unterscheiden. Ist die Minute durch 72 geteilt anstatt durch 60, hat man die Möglichkeit, die Zeit mit dem Duodezimalsystem besser aufteilen zu können. Folgendes ist mit dem Duodezimalsystem gerechnet.
Einige Umrechnungen von dezimal zu duodezimal: 60dms = 50ddms; 72dms = 60dms; 24dms = 20ddms; 288dms = 200ddms; 4dms = 4ddms; 103’680dms = 50’000ddms; 51’840dms = 26’000ddms; 720dms = 500ddms; 360dms = 260ddms; 86’400dms = 42’000ddms; 25’920dms = 13’000ddms.
Ein Tag hat also, im Duodezimalsystem (ddms) geschrieben, hat 20 Stunden ddms, eine Stunde hat 50 Minuten ddms, eine Minute hat 60 Sekunden ddms. Der Tag hat also 20*50*60 = 50’000 Sekunden ddms. Ein Grad beträgt auf dem Umkreis der Uhr dadurch 50’000/260 = 200 Sekunden ddms, oder 4 Minuten. Pi beträgt auf der 20-Stunden-ddms-Uhr so 50’000/2 = 26’000 Sekunden ddms, oder 500 Minuten ddms. Ein Grad auf der Sekundenziffer entspricht hier 0.2s ddms. Auf der 50-ddms-Minutenziffer ist ein Grad 0.4min ddms. Es sind alles wunderschöne, einfach teilbare, abgeschlossene Grössen.
Im Dezimalsystem mit der 72-Sekunden-dms-Minute geschrieben: 1 Tag = 24h, 1h = 60min, 1min = 72s. Der Tag hat 24*60*72 = 103’680s. 1° = 103’680/360 = 288s, 288/72 = 4min. Pi entspricht 103’680/2 = 51’840s, oder 720min.
Das platonische Jahr dauert (mit dem Duodezimalsystem geschrieben) 13’000 Jahre ddms, während es mit dem gewöhnlichen Dezimalsystem geschrieben 25’920 Jahre dauert. Ersteres ist doch eine viel angenehmere Darstellung zum Kopfrechnen von grossen zyklischen, geometrisch repräsentierbaren Zeiten. Ein Grad auf dem Kreis des platonischen Jahres beträgt 60 Jahre ddms (60 Jahre ddms * 260° = 13’000 Jahre ddms).
Das erste Beispiel ist eine sehr schöne Darstellung von Zeit. Mit dem Dezimalsystem, und der normalen Minute mit 60 Sekunden dms, ist das viel weniger schön darzustellen. Nur um es zu zeigen: 24 Stunden dms haben 60 Minuten dms, und diese haben wiederum 60 Sekunden dms. Der Tag hat also 24*60*60 = 86’400 Sekunden dms. Ein Grad beträgt auf dem Umkreis der Uhr 86’400/360 = 240 Sekunden dms, oder 4 Minuten. Pi (die Hälfte des Umkreises) beträgt auf der 24-Stunden-dms-Uhr so 86’400/2 = 43’200 Sekunden dms, oder 720 Minuten dms.
Hier ein Beispiel, wie eine solche Uhr aussehen könnte, damit einem die zusätzliche Ziffernanzeige nicht verwirrt. Wir haben also drei Ziffernangaben, von aussen nach innen eine für 20h ddms, eine für 50min ddms, und eine für 60s ddms. Mit einer solchen Uhr brauchen wir keinen Zeiger, wir haben stattdessen drei Ringe, die mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten rotieren. Das sind drei Ringe, wobei die Sekunde ganz innen liegt, die Stunde ganz aussen, und die Minute zwischen den beiden. Dies, damit der Sekundenring nicht rundherum rasen muss. In der Natur ist das Langsamere für gewöhnlich auch das Grössere, so sei der grösste Ringe in diesem Beispiel auch der langsamste. Der mittlere Radius ist ‘1’, der innere ‘0,5’, und der äussere ‘1.5’. Eine positive Linie auf der X-Achse zeigt den momentanen Zeitpunkt an, an dem die Ringe vorbeidrehen. Man braucht also immer nur auf den gleichen Punkt zu schauen, um die Zeit abzulesen. Es ist dann im Prinzip wie die Anzeige einer Digitaluhr, wobei die Sekunde links, die Minute in der Mitte, und die Stunde rechts abzulesen ist. Die Ringe drehen im Uhrzeigersinn, und so geht das Auge, wenn es den gleichen Punkt auf einem Ring betrachtet, auf dem Ring gegen den Uhrzeigersinn. Und da der Rest der Uhr eigentlich nicht gebraucht wird, um die Zeit abzulesen, kann man dort andere Informationen finden, wie eine Zeitmessung mit geometrischen Formen, oder die sich ändernde Uhrzeit des Sonnenaufganges und Unterganges usw. Was auch immer einem (z.B. Stadtmenschen) hilft, in einem angemessenen Verhältnis zur Aussenwelt zu leben, und sich von dieser nicht (weiter) zu entfremden.
Das Ablesen einer Uhr in der Reihenfolge Sekunde, Minute, Stunde, von links nach rechts, ist man sich sprachlich gewöhnt. Man redet stets zuerst von der Minute und dann der Stunde, wenn man eine Uhrzeit mitteilt.
Hat man Diastegraphometrie zur Hand, um sich unter den Zeitbegriffen etwas weniger Abgehobenes vorstellen zu können, so ist dem Menschen bestimmt etwas Gutes getan.
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