Duodezimalsystem

Was wäre ein besseres Zahlensystem als das Zehnersystem? Das Zwölfersystem.

Die Zwölf ist eine sehr besondere Zahl. Würde man die Funktion der 10 durch die Grösse 12 ersetzen, so hätte man ein wesentlich nützlicheres, einfacheres Zahlensystem. Damit ist gemeint, dass die Grösse 12 in einem solchen Zahlensystem entweder die erste Zahl aus zwei Ziffern, und folglich als 1 und 0 zusammengesetzt ist, oder gar aus einem neuen Symbol besteht. In einem solchen System bräuchte man zwei neue Zeichen, um die 10 und die 11 darzustellen, welche nun aus einer einzelnen Ziffer bestehen, nicht mehr aus zwei zusammen gesetzten. “1-10” spricht sich damit aus als “eins bis eindutzend”.

Die neuen Ziffern “Ɣ” (eine römische 10 welche unten verbunden ist, um keine Verwechslung mit dem Buchstaben ‘X’ zu haben) und “Ӿ” (eine römische 10, welcher eine weitere 1 angefügt wurde, horizontal in der Mitte) übernehmen die Funktion der alten 10 und 11. Ɣ entspricht der Grösse 10, und Ӿ der Grösse 11. So kann das Dutzend, also die neue 10, nun zur ganzen Zahl durch sich selbst, durch 1, durch 2, durch 4 und durch 6 geteilt werden, aber nicht mehr durch die 5. Dadurch ist es viel einfacher, zu einem tiefen Nenner zu kommen, aber auch Brüche generell zu vermeiden. Es finden sich noch endlos viele andere Vorteile, aber nur zwei Nachteile: der Nachteil ist, dass sich alle umgewöhnen müssten, und dass in der Technik sehr viele Standards angepasst zu werden hätten. Das Zehnersystem nennt sich das Dezimalsystem (‘dms’), das Zwölfersystem ist das sogenannte Duodezimalsystem (‘ddms’). ‘ddms 50’ ist, um ein Beispiel zu geben, in der Anzahl demnach gleich ‘dms 60’.

Dort wo eine Ziffer dazu kommt, im Dezimalsystem nach der 9 die 10, nach der 99 die 100 usw, wird bewirkt, dass sich im Duodezimalsystem alles etwas verschiebt. Nennen wir den Bereich, wo Ziffern ihre Anzahl teilen, im Duodezimalsystem also von 1 bis Ӿ (dms 1 bis 11), von 10 bis ӾӾ (dms 12 bis 143), von 100 bis ӾӾӾ (dms 144 bis 1727) usw den ‘Ziffernbereich’. Innerhalb dieses Bereichs gibt es nun überall eine leichte Verschiebung. Als ein Beispiel: 100 (dms 144) kann nun durch 6 geteilt werden, ohne in einem Bruch zu enden, es ergibt 20 (dms 24).

Die Präzision innerhalb des Bereichs vergrössert sich durch die Zunahme an Einheiten, d.h. einzelnen Zahlen, und weil das Zahlensystem auch noch viel flexibler teilbar ist, vergrössert sich gleichzeitig auch die Einfachheit. Es gibt damit sehr viel mehr Möglichkeiten, Dinge zueinander passen zu lassen. Das Zehnersystem hingegen ist ein ewiger Kampf mit sich selbst, in dem man alles annähern muss, aber nichts wirklich zum anderen passt. Das Zehnersystem ist eine grässliche Mathematik.

Mit dem Duodezimalsystem geht alles auf, die Dinge fügen sich einfach ineinander, so dass man kaum noch was dazu rechnen muss. In Amerika braucht man gerne das ‘imperiale’ System, um Grössen anzugeben, sie brauchen es für Gewichte, für Längen, aber auch für Temperaturen haben sie eine andere Skala, die sich aus dem Zwölfersystem zusammen setzt. Das Problem ist, dass sie diese, eigentlich ungeheuer nützlichen Skalen, mit dem Zehnersystem verwenden müssen. Deswegen wehren sich viele Menschen in diesen Ländern gegen die imperialen Grössen, und wollen lieber die metrischen verwenden.

Es wäre zu wünschen, dass die ganze Welt das Zwölfersystem übernehmen würde, um alle Grössen im imperialen System auszudrücken. Man hätte augenblicklich viel mehr Wahrheit in den Dingen.

Auch das Zählen von Hand wird nicht schwieriger, weil die menschlichen Finger mit Ausnahme des Daumens aus drei beweglichen Teilen bestehen. Und weil man pro Hand vier solche Finger hat, hat man 12 Teile je Hand, an denen man abzählen kann. Und mit zwei Händen kann man so bis 24 zählen, indem die Daumen von Fingerglied zu Fingerglied gehen. Das Zwölfersystem hat im Einfachsten wie im Schwierigsten grosse Vorteile, oder macht im schlimmsten Fall keinen Unterschied. Es macht nirgendwo Probleme, wo es nicht auch eine bessere Lösung anzubieten hat.

Man kann auch die Zeit besser verstehen, rechnen und studieren, wenn man ein System wie das Duodezimalsystem hat. Folgendes ist das bekannte Kreisschema der WA, aber anstelle der einzelnen WA sind hier diese Zahlen im Duodezimalsystem aufgeführt. So hat man das Ziffernblatt einer Uhr folgendermassen:

Geht man noch einen Schritt weiter, und stellt alle 24 Studen eines Tages dar, so sieht das Ziffernblatt einer Uhr so aus:

Oben ist hier Mitternacht angezeigt, unten die Mittagsstunde, rechts der Morgen, links der Abend. Und wenn dann noch die Sommerzeit abgeschafft wird, so hat man die Mitternachtsstunde und die Mittagsstunde auch wirklich dann, wo die Sonne in der jeweiligen Mitte steht, und der Mensch findet sich in einem gewissen Einklang mit der Mathematik der äusseren Welt.

Die so verwendeten Ziffern haben die im Folgenden dargestellte Reihe. In Klammern ist das entsprechende Äquivalent im Zehnersystem angezeigt. Dazu kommt, dass die neuen Zeichen neu benamselt werden müssen, das ist auch in den Klammern angegeben. Die Begriffe dafür sind, wie hier auf dieser Webseite aufgeführt, einmalig, man findet das sonst nirgendwo derart ausgearbeitet. Die Zehn (hier nun Ɣ) kriegt einen neuen Namen, weil sich sonst klanglich die neue 22 (hier nun ‘1Ɣ’) kaum vom einfachen Dutzend unterscheiden lässt.

In der letzten Bearbeitung wurde weiter überall die Null entfernt. Nun ist das Dutzend ein einzelnes Zeichen, nicht mehr eine Eins und eine Null: ⧖. Das Dutzend hat nun acht Funktionen, welche die anderen Zahlen nicht in gleicher Weise haben. All dies ist eine Darstellungsart, welche die gewöhnliche Darstellung ergänzen kann, um mehr Spielraum mit der Zwölf zu haben.Allerdings werden viele gewohnte Schreibweisen das Dutzend nun beeinflussen, wodurch sich einige neue Regeln aufdrängen. Je nachdem auf welche Seite des Dutzends man eine Zahl hinschreibt (oben, unten, links, rechts, oder einer von vier Ecken, oben-rechts, oben-links, unten-links oder unten-rechts), verändert dies den Wert des Dutzends. Ist eine Zahl rechts vom ⧖ hat man Addition zum ⧖ (oder mit ‘-‘-Vorzeichen Subtraktion), ist eine Zahl links vom ⧖, hat man Multiplikation (Division wird durch den Bruch oben oder unten gemacht), unten ist Bruch mit ⧖ als Zähler, oben mit ⧖ als Nenner, oben rechts Potenzierung, oben links Logarithmus, unten links Wurzel, unten rechts Oplus (eins über [[eins über ⧖] plus [eins über n]…]). Möchte man mit anderen Zahlen operieren, so hat man sie, nach dieser Darstellung, alleine in eine Akkoladen-Klammer zu setzen, z.B. {6}² für 3⧖. Alles Rechnen und Zählen hat dadurch das Dutzend im Zentrum. Erst mit solcher Klammer haben gewöhnliche Zahlen die gleichen Rechte wie das ⧖. Weil die anderen Zahlen nicht die gleichen Rechte haben, kann man verschiedene Abkürzungen machen. Wenn keine Akkolade steht, können die Potenzen z.B. nebeneinander stehen, und sie addieren sich. Anstatt ⧖⁴⧖³⧖²⧖¹ für dutess-dukupp-duqua-dutzer, kann man die Potenzen addieren, und ⧖⁴³²¹ schreiben. Kommen mehrstellige Potenzen zur Potenzenaddition dazu, so muss man die einzelnen Zahlen mit Kommas voneinander abtrennen und beenden, weil ansonsten die Gefahr besteht, Additionen von Potenzen mit mehrstelligen Potenzen zu verwechseln. Möchte man die Potenzen multiplizieren, muss man halt einen Punkt dazwischen fügen, wie ⧖⁴•³, weil die hier gewöhnliche Multiplikationsoperation zur linken Seite des Terms steht, und dadurch nicht mehr erkenntlich wäre, welche Potenz links, und welche rechts steht. So sind längere Operanden in sich immer in Leserichtung, und bedürfen, abgesehen von der einstelligen Addition, Hilfszeichen, wie den Punkt oder das Minus. Möchte man sie potenzieren, so stellt man sie wieder in die gleiche Ecke, ⧖⁴^³ usw.

Die Ordnung der Operationen hat sich mir noch nicht ganz erschlossen, wenn z.B. auf mehreren Seiten des ⧖ gleichzeitig Operationen stehen. Bis jetzt ist nach mir die Folge entsprechend der Lesart einer Zahl, so dass zuerst die Multiplikation, dann die Potenzierung und zuletzt Addition/Subtraktion kommt. Ich überlege mir aber, wie man die Folge vielleicht während jeder Rechnung abändern kann, um mehr Freiheiten und Möglichkeiten in der Darstellung zu haben. Beispielsweise könnte man bestimmte Ecken des ⧖ ausfüllen. Weiter kann man den Level der Sanduhr markieren, um die Richtung der Rechnung zu definieren (vom Ziel [wie viel fehlt noch] oder vom Beginn [wie viel wurde schon erreich] ausgehend, eine Waagrechte im oberen Dreieck geht vom Beginn aus, wobei ganz oben ganz am Beginn bedeutet, und weiter zu Mitte hin bedeutet eine Entfernung zum Beginn). Das Symbol ⧗, das ausgefüllte Dutzend, könnte z.B. eine bestimmte Umkehrung bedeuten.

• _ (Nichts)
• 1 (einer dms 1)

Die Eins definiert die erste vollzahlige Grenze nach der Zahlenlosigkeit “_”, sie beschreibt jedoch nicht direkt den Raum zwischen Nichts und sich selber, sondern nur die Grenze dieses Raumes (oder die Länge, Distanz usw) auf der Seite der Zahl, nicht auf der Seite, wo nichts vorhanden ist. Der Zwischenraum wird nur indirekt beschrieben. Die Zwei bezeichnet dann die Grenze des doppelten Raumes von dem der Eins, aber wiederum nicht (direkt) den Raum selber.

• 2 (zwoer dms 2)
• 3 (dreier dms 3)
• 4 (vierer dms 4)
• 5 (fynfer dms 5)
• 6 (sechser dms 6)
• 7 (sippner dms 7)
• 8 (achter dms 8)
• 9 (neuner dms 9)
• Ɣ (decker dms 10)
• Ӿ (elfer dms 11)
• ⧖ (dutzer dms 12)
• ⧖1 (dueiner oder eindueiner 1⧖1 dms 13)
• ⧖2 (duzwoer dms 14)
• ⧖3 (dudreier dms 15)
• ⧖4 (duvierer dms 16)
• ⧖5 (dufynfer dms 17)
• ⧖6 (dusechser dms 18)
• ⧖7 (dusippner dms 19)
• ⧖8 (duachter dms 20)
• ⧖9 (duneuner dms 21)
• ⧖Ɣ (dudecker dms 22)
• ⧖Ӿ (duelfer dms 23)
• 2⧖ (zwodutzer dms 24)
• 2⧖1 (zwodueiner dms 25)
• 2⧖2 (zwoduzwoer dms 26)
• 2⧖3 (zwodudreier dms 27)
• 2⧖4 (zwoduvierer dms 28)
• 2⧖5 (zwodufynfer dms 29)
• 2⧖6 (zwodusechser dms 30)
• 2⧖7 (zwodusippner dms 31)
• 2⧖8 (zwoduachter dms 32)
• 2⧖9 (zwoduneuner dms 33)
• 2⧖Ɣ (zwodudecker dms 34)
• 2⧖Ӿ (zwoduelfer dms 35)
• 3⧖ (tredutzer dms 36)
• 3⧖1 (tredueiner dms 37)
• 3⧖2 (treduzwoer dms 38)
• 3⧖3 (tredudreier dms 39)
• 3⧖4 (treduvierer dms 40)
• 3⧖5 (tredufynfer dms 41)
• 3⧖6 (tredusechser dms 42)
• 3⧖7 (tredusippner dms 43)
• 3⧖8 (treduachter dms 44)
• 3⧖9 (treduneuner dms 45)
• 3⧖Ɣ (tredudecker dms 46)
• 3⧖Ӿ (treduelfer dms 47)
• 4⧖ (vierdutzer dms 48)
• 4⧖1 (vierdueiner dms 49)
• …
• 5⧖ (fydutzer dms 60)
• 5⧖1 (fydueiner dms 61)
• 6⧖ (sedutzer dms 72)
• 6⧖1 (sedueiner dms 73)
• 7⧖ (sidutzer dms 84)
• 7⧖1 (sippdueiner dms 85)
• 8⧖ (adutzer dms 96)
• 8⧖1 (adueiner dms 97)
• 9⧖ (neudutzer dms 108)
• 9⧖1 (neudueiner dms 109)
• Ɣ⧖ (dedutzer dms 120)
• Ɣ⧖1 (dedueiner dms 121)
• Ӿ⧖ (eldutzer dms 132)
• Ӿ⧖1 (eldueiner dms 133)
• ⧖² (quader dms 144)
• ⧖²1 (qua-einer dms 145)
• ⧖²2 (qua-zwoer dms 146)
• ⧖²⧖ (qua-dutzer dms 156)
• ⧖²⧖1 (kürzer ⧖²¹1, qua-dueiner dms 157)
• ⧖²2⧖ (kürzer ⧖²2¹, es ist hier nicht 2¹=2 sondern 2•⧖¹ weil in dieser Notation in der horizontale nach rechts die Operation Addition stattfindet, und die 2 eine spezielle Klammer bräuchte, um die Potenz auf sich beziehen zu können… qua-zwodutzer dms 168)
• ⧖²2⧖1 (kürzer ⧖²2¹1 qua-zwodueiner dms 169)
• 2⧖² (zwoquader dms 288)
• 2⧖²2⧖2 (zwoqua-zwoduzwoer dms 314)
• Ӿ⧖²Ӿ⧖Ӿ (kürzer Ӿ⧖²Ӿ¹Ӿ, elqua-elduelfer dms 1727)
• ⧖³ (kupper, “würfel”, “dutzergleichkant” dms 1728)
• 9⧖³ (neukupper dms 15’552)
• Ӿ⧖³Ӿ⧖²Ӿ⧖Ӿ (kürzer Ӿ⧖³Ӿ²Ӿ¹Ӿ, elkupp-elqua-elduelfer dms 20’735)
• ⧖⁴ (tessader von ‘tesserakt’ dms 20’736)
• 9⧖⁴ (neutessader dms 186’624)
• 9⧖⁴9 (neutess-neuner dms 186’633)
• 9⧖⁴9⧖ (kürzer 9⧖⁴9¹, neutess-neudutzer dms 186’732)
• 9⧖⁴9⧖² (kürzer 9⧖⁴9², neutess-neuquader dms 187’920)
• 9⧖⁴9⧖³ (kürzer 9⧖⁴9³, neutess-neukupper dms 202’176)
• 9⧖⁴9⧖³9⧖²9⧖9 (kürzer 9⧖⁴9³9²9¹9, neutess-neukupp-neuqua-neuduneuner dms 203’589)
• Ӿ⧖⁴Ӿ⧖³Ӿ⧖²Ӿ⧖Ӿ (kürzer Ӿ⧖⁴Ӿ³Ӿ²Ӿ¹Ӿ, eltess-elkupp-elqua-elduelfer 248’831)
• ⧖⁵ (pentader dms 248’832)
• Ӿ⧖⁵Ӿ⧖⁴Ӿ⧖³Ӿ⧖²Ӿ⧖Ӿ (elpen-eltess-elkupp-elqua-elduelfer 2’985’983)
• ⧖⁶ (hexader [duodez million] dms 2’985’984)
• ⧖⁷ (heptader dms 35’831’808)
• ⧖⁸ (oktader dms 429’981’696)
• ⧖⁹ (nonader dms 5’159’780’352)
• ⧖^Ɣ (deckader dms 61’917’364’224)
• ⧖^Ӿ (elfader dms 743’008’370’688)
• ⧖^⧖ (das ‘letzte Endliche’, der “Dutzader”, dutzer mal dutzer, 10^10; dms 12^12=8’916’100’448’256, (fast) 9 Billionen in deutsch, 9 Trillions in englisch)
• usw…

Für die ⧖² haben wir das Wort “Quader”, und gemeinhin (nicht hier) wird darunter ein sogenannter “Rechtkant” verstanden, ein dreidimensionales Objekt, das sich darin vom Würfel unterscheidet, dass nur vier Flächen die gleiche Grösse haben müssen, während die zwei anderen sich von der Höhe der anderen vier ableiten und quadratisch sein müssen, der so aussieht:

Ein solcher Körper hat jedoch nichts mit dem Wort Quader zu tun ausser, dass all seine Flächen vier Kanten haben, und zwei davon auch quadratisch sein müssen. Folglich benutzen wir das Wort Quader hier für den Zahlenbegriff eines einfachen, zweidimensionalen Quadrates, das 10^2 dms.

Und wer sich unter 10’000 ddms, dem ⧖⁴, dem Tessader, nichts vorstellen kann, für den ist hier ein dafür nützliches Bild, das auf Wikipedia gefunden wurde. Im Internet ist dieser Körper unter ‘Tesserakt’ zu finden. Die noch höheren dann unter 5-Cube oder Penterakt, 6-Cube usw.

Weiteres kann man sich immer ausdenken, aber damit sind alle notwendigen Grundlagen, für eine Form von Zahlenbegriffen mit eingebauter geometrischer Wahrheit, gegeben.